（大概率是高射炮打蚊子）

(资料图片仅供参考)

转移矩阵和转移图

假设每次随机刻选取时有 p 的概率增长一阶段，在增长 Q 次后到达最终状态并且停止增长，那么它有 0～Q 总共 Q+1 个状态，并且有如下的 (Q+1)×(Q+1) 大小的概率矩阵 P ：除最后一行外，对角线上的概率是 1-p （不增长），对角线右侧一列的概率是 p （增长一阶段）最后一行上的最后一列概率是 1 （被收割前永远停留在这里）；其余位置是 0.

概率矩阵也可以当作一个状态机，或者权重为概率的有向图解读。

以金合欢文章[1] 中的炼药锅（细雪或水）的概率为例，假设 p = 15 / 256 / 4049, 那么有如下的状态转移图（使用 matlab 绘制）

初始分布，收割，稳定分布和极限分布

一般会假设初始时所有作物都是在状态 0,那么初始的概率分布是一个 1×(Q+1) 的向量 α，并且只有在第一列的概率为 1：α = [1 0 0 ... 0]。并且在 n 次选择后，各状态的概率分布是 αP^n.

以炼药锅（细雪或水）为例，计算结果与金合欢在的 Excel 表格中的计算结果（对应 αP^n 的最后一列）吻合：

gt = 36000, αP^(gt*3) = [0.2133    0.3296    0.2546    0.2025], 金合欢的结果：0.2025

gt = 60000, αP^(gt*3) = [0.0762    0.1961    0.2525    0.4753], 金合欢的结果：0.4753

…………

除此之外，我们还可以将收割纳入考虑：收割会将状态为 Q 的设置为状态 0 使其重新生长，于是等价为如下的 (Q+1)×(Q+1) 矩阵 H（取 Harvest 的首字母 H）：除最后一行外H的对角线上是 1,最后一行上第一列是 1,其余位置是 0.

假设每 n 次选择后收割一次，重复该过程 m 次，对收割耗时忽略不计，那么概率分布就是 α(P^n H)^m. 类似地，先收割再等待会产生 α(H P^n)^m 的概率分布。

依然以炼药锅（细雪或水）为例，100000 次选择 （正常情况下是 100000/3/20/3600 = 0.46 小时）之后收割一次，会发现在仅仅几次收割之后，收割后的概率分布趋近于 [0.5067    0.2279    0.2655         0]。并且与初始分布 α 无关。可以认为这就是 (P^100000 H) 的极限分布。

α = [1 0 0 0], α(P^100000 H)^1 = [0.4131    0.3422    0.2447         0]

α = [1 0 0 0], α(P^100000 H)^5 = [0.5066    0.2279    0.2655         0]

α = [1 0 0 0], α(P^100000 H)^10 = [0.5067    0.2279    0.2655         0]

α = [0 1 0 0], α(P^100000 H)^10 = [0.5067    0.2279    0.2655         0]

α = [1/4 1/4 1/4 1/4], α(P^100000 H)^10 = [0.5067    0.2279    0.2655         0]

因此这里提出以下猜想（证明难度不高，但是懒）

对于所有 n >= 1，(P^n H) 存在一个唯一的稳定分布，并且是极限分布；(H P^n) 亦然。

随着 m 趋近正无穷 (P^n H)^m 可以快速收敛到极限分布；(H P^n)^m 亦然。 （猜想 1, 2 可以简化对收割效率的计算）

可以方便地求出 m 次后的期望收获量 E(m)：即对每次收割前，在状态 Q 的概率进行求和。

使 m 趋近正无穷后，平均单位时间收益，即 lim m->∞, E(m) / (m*n) 最大化的 n 在可能的取值范围 n >= 1 内只有一个，并且存在解析解。

引用

金合欢. 随机刻事件 概率通用计算方法. https://www.bilibili.com/read/cv22832459

Robert P Dobrow, Introduction to Stochastic Processes with R, https://doi.org/10.1002/9781118740712

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